Monday, October 31, 2011

从二到三

“道生一,一生二,二生三,三生万物”
                              ——《道德经》

初读这句话的人,可能觉得这就是句颇为罗嗦的大白话,也有人会说这就是归纳法的基本思想。
从一到二,再从二到三,是否是代表了相同的含义呢?为何是“三生万物”,而不是一或二生万物呢?
今天,我们就来谈谈二和三这两个神奇的数字。

二——完备的最小集
在东方的哲学里,从一开始,二就有着无可替代的神奇含义。任何事物都是存在着对立面,即万物为阴阳,阴阳相生相克,才有了世界的运行。如果只有一,那么孤阳不生,独阴不存,世界这个大系统也就不能成为循环演变的系统,而只是单一的元素了。从这个意义上,二乃是系统的最小集。
现代的计算机科学有二进制,简简单单的0和1构造起了无穷复杂可能的虚拟系统。有人说之所以不选其他进制乃是为了方便制造的实现,这有道理,但并不全对。实际上,从信息论的角度来看,给定固定长的空间,若想表达尽可能多的信息,是存在最有解的。
例如,给N位状态,选择X进制,使得X^(N/X)尽可能的大,采用微积分运算容易求得X=e。使得,并非是巧合,最大的信息密度出现在我们选择自然对数作为进制的时候。但是由于自然对数自身为无理数,所以我们只能选择2进制或者3进制。
实际上,可以证明,3进制的表达效率是要优于2进制的。但是考虑到2进制的表达效率其实不差,再加上系统实现的代价,我们还是选择了2进制。
当然,当年发明计算机的时候是否考虑过表达效率,我无法获知。

三——变化的开始
我们生活的空间是三维的,因此,对于人类来说,考虑超过3维的问题往往就意味着复杂度的爆炸。
有一个有趣的问题,一个酒鬼喝醉了酒,随机的晃荡,问他能否晃荡到家。假设随机往各个方向的概率相等。
这个问题的答案相信很多人都不那么容易猜到:当酒鬼游荡的空间是1维或者2维的时候,他晃荡回家的概率是无限大,即他总能瞎猫碰到死耗子;但是一旦达到3维或以上,回家的概率将变成无限小,即宇宙毁灭也回不了家。
从二到三,简单的量变引发了根本的质变,很神奇,对不对?
只有二态的系统往往是简单的,线性的,而一旦引入另外的维度,系统的复杂性就瞬间增加,变得复杂,非线性。
计算机中著名的set问题,当是2-set时,该问题为P问题;当为3-set时,则跳跃为NP问题。类似的例子,举不胜数。
三是复杂的开始,是变化的开始。但若是继续引入更多的维度,系统的复杂和非线性度进一步增加,则系统将可能极度不稳定,也难以构造稳定的存在。
所以,或许人类该万分的庆幸,我们的世界,刚刚好。
反过来再看“三生万物”,冥冥中,我们已无法再多感慨古人的智慧和直觉。